ریاضیات کاربردی

نگاه کلی

حساب تصادفی و روش‌های عددی بنیانِ ریاضیِ مشترکی هستند که دیگر حوزه‌های پژوهشی بر آن استوارند — بنیانی، نه یک خطِ کاریِ جدا، که درستیِ هر نتیجهٔ پایین‌دستی به آن بستگی دارد.

پرسش‌های محوری

• تحتِ چه شرایطی یک معادلهٔ دیفرانسیلِ تصادفی دارای حلّی خوش‌تعریف است؟
• خطای یک طرحِ عددی با کوچک‌شدنِ گامِ زمانی چگونه رفتار می‌کند، و این رفتار چه زمانی شکست می‌خورد؟

صورت‌بندی ریاضی

لمِ ایتو

برای فرایندِ dXₜ = μ dt + σ dWₜ و تابعِ دوبار مشتق‌پذیرِ f، لمِ ایتو دیفرانسیلِ f(Xₜ) را می‌دهد — قاعدهٔ زنجیره‌ایِ حساب تصادفی، و بنیانِ بیشترِ مدل‌های زمان‌پیوستهٔ به‌کاررفته در دیگر بخش‌های این پژوهش، از قیمت‌گذاریِ اختیار معامله تا اجرای بهینه.

روش‌هایی که به کار می‌بریم

• انتگرال‌گیریِ تصادفی

  Itô, K. (1944). Stochastic integral. Proceedings of the Imperial Academy, 20(8), 519–524.

• فرایندهای خودبرانگیز

  Hawkes, A. G. (1971). Spectra of some self-exciting and mutually exciting point processes. Biometrika, 58(1), 83–90.

• نوسانِ زبر

  Gatheral, J., Jaisson, T., & Rosenbaum, M. (2018). Volatility is rough. Quantitative Finance, 18(6), 933–949.

مسئله‌های باز

• نتایجِ کلاسیکِ حساب ایتو در چه مواردی برای فرایندهایی با مسیرهای زبر و غیرِ نیمه‌مارتینگل نیازمندِ بازبینی‌اند؟
• طرح‌های عددی برای فرایندهایی با جهش در کنارِ نفوذِ پیوسته چگونه باید تعدیل شوند؟